Après avoir étudié le mouvement d’un point matériel, sur la route qui nous mène à la mécanique du solide, on peut considérer le système à N points matériels le plus simple : le système à deux corps. En physique, ce problème a deux corps est très important, on peut remarquer que les forces que nous connaissons sont des forces qui s’exercent entre deux corps (gravitation, force électromagnétique, ...). Aussi, on rencontre souvent dans la nature des systèmes physiques à deux corps : la Terre et la Lune, l’électron et le proton dans un atome d’hydrogène, une molécule diatomique de gaz ...
Après avoir exposé le problème de façon générale, nous nous limiterons aux systèmes à deux corps isolés entre lesquels s’exerce une force d’interaction.
Description et éléments cinétiques
Centre d’inertie du système
Soit deux points \(\mathrm{M}_1\) et \(\mathrm{M}_2\) de masse respective \(m_1\) et \(m_2\) en interaction et en mouvement dans un référentiel\((\mathcal{R})\) de centre O.
Le centre d’inertie du système est le barycentre des points \(\mathrm{M}_1\) et\(\mathrm{M}_2\) affectés de leur masse.
Le référentiel barycentrique, noté \((\mathcal{R^*})\), est le référentiel lié au centre de gravité G du système de points matériels et animé d’une vitesse \(\overrightarrow{v}(G)\) par rapport au référentiel\((\mathcal{R})\).
Le référentiel barycentrique n’est en général pas galiléen.
Théorème de la résultante cinétique
Ce théorème remplace le principe fondamental de la dynamique pour des systèmes à N points matériels. On a :
Ces sont bien les forces extérieures qui interviennent dans ce théorème, ce ne sont pas les forces d’interaction entre \(\mathrm{M}_1\) et \(\mathrm{M}_2\).
Cas du système isolé
Si le système de points matériels est isolé, qu’aucune force extérieur ne s’exerce sur celui-ci alors \(\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{P}}{\mathrm{d}t} = \overrightarrow{0} \Longleftrightarrow \overrightarrow{P}=(m_1+m_2)\,\overrightarrow{v}(G) = \overrightarrow{\mathrm{cste}}\).
La vitesse du centre d’inertie est constante dans le référentiel \((\mathcal{R})\), G est animé d’un mouvement rectiligne uniforme par rapport à\((\mathcal{R})\) : le référentiel barycentrique est dans ce cas galiléen.
\(\sum \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{F}_{\mathrm{ext}}) = \overrightarrow{0}\) et le moment cinétique du système se conserve.
Composition de mouvement
Pour étudier le mouvement de ce système de points matériels, on étudie :
Mouvement du centre d’inertie
Le mouvement de son centre d’inertie G à l’aide des théorèmes définis précédemment :On prend en compte les actions extérieures au système mais pas les forces d’interaction entre les particules du système.
Mouvement relatif
En plus de ce mouvement du centre de gravité G du système, il faut ajouter le mouvement relatif de \(\mathrm{M}_2\) par rapport à \(\mathrm{M}_1\).
On se place dans le cas d’un système de deux points matériels isolés, il n’y a donc pas de force extérieure qui agit sur le système : le point G à un mouvement rectiligne uniforme et le référentiel barycentrique est galiléen.
PFD dans le référentiel barycentrique
On peut alors utiliser le principe fondamental de la dynamique et l’appliquer aux points \(\mathrm{M}_1\) et \(\mathrm{M_2}\) dans le référentiel \((\mathcal{R}^*)\).
On étudie les systèmes \(\mathrm{M}_1\) et \(\mathrm{M}_2\). La force qui s’exerce sur \(\mathrm{M}_1\) est \(\overrightarrow{f}_{2/1}\), celle qui s’exerce sur \(\mathrm{M}_2\) est\(\overrightarrow{f}_{1/2}\).
Dans le référentiel barycentrique galiléen, le problème à deux corps se réduit à l’étude du mouvement d’un point M de masse \(\mu\), appelée masse réduite du système, dont la position est repérée par \(\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{M_1M_2}\) et qui est soumis à une force\(\overrightarrow{f}_{1/2}\).
On se retrouve donc à un problème de corps soumis à une force centrale.
Ainsi on peut reprendre les lois de conservation du moment cinétique et de l’énergie mécanique pour obtenir l’équation du mouvement de M, de \(\mathrm{M}_1\) et de \(\mathrm{M_2}\) (voir ci-dessous).
Mouvement de \(\mathrm{M}_1\) et\(\mathrm{M_2}\)
Les mouvements des points du système sont alors déductibles de celui de M.
En effet :
\begin{equation}\left\{\begin{array}{llll}
m_1\,\overrightarrow{GM_1}+ m_1\,\overrightarrow{GM_2} &= & \overrightarrow{0} & \text{ (définition du barycentre)} \\
\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{M_1M_2} & =& \overrightarrow{GM_2}-\overrightarrow{GM_1}& \text{ (définition du point fictif)}
\end{array}\right.\end{equation}
Ces deux relations combinées, nous permettent d’écrire :
Les trajectoires de \(\mathrm{M}_1\),\(\mathrm{M_2}\) et M dans le référentiel barycentrique se déduisant les unes des autres, on dit qu’elles sont homothétiques.
Exemples de systèmes particuliers
Le système Terre-Soleil
Soit \(\mathrm{M}_2\) le Soleil et \(\mathrm{M}_1\) la Terre. Dans ce cas la masse du Soleil est tellement grande que l’on a \(\overrightarrow{GM_2}\rightarrow 0\) et \(\overrightarrow{GM_1}\simeq \overrightarrow{GM}\). Le Soleil semble pratiquement immobile et son centre est pratiquement le centre de gravité du système. On retrouve alors pour la Terre le principe fondamental de la dynamique classique \( m_1\,\dfrac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=\overrightarrow{f}_{2/1}\) : elle tourne autour du soleil sur une orbite elliptique dont le Soleil est un des foyers :
Animation Terre-Soleil (rechargez la page pour voir l'animation)
Cas d’une molécule diatomique
On a dans ce cas \(m_1=m_2\), le centre de gravité du système se retrouve au milieu de \(\mathrm{M}_1\mathrm{M}_2\).
Les collisions
Description du problème
Nous allons une nouvelle fois nous intéresser au cas où les deux corps qui entrent en collision ne subissent pas de forces extérieures.
Le terme collision est à prendre au sens large, il n’y a pas forcément contact physique entre les corps (interaction répulsive). On emploiera néanmoins indifféremment les mots collision ou choc.Ce qui est intéressant n’est pas l’interaction qui produit la collision : on considèrera que celle-ci se produit à courte portée et pendant un temps très court.
Nous ne voulons pas connaître la nature de cette interaction mais uniquement les caractéristiques des corps avant et après collision.
On considèrera pour ce qui suit que la masse des corps est constante et que leur nombre de varie pas.
Conservation de la quantité de mouvement
Comme nous l’avons dit précédemment dans le chapitre, si on considère le système des deux corps ne subissant pas de force extérieure, le théorème de la résultante cinétique donne :
Si on note \(\overrightarrow{p_1}\) et \(\overrightarrow{p_2}\) les quantités de mouvements des deux corps avant la collision, et \(\overrightarrow{p'_1}\) et\(\overrightarrow{p'_2}\) les quantités de mouvement des deux corps après collision, on a :
Dans cette configuration, on obtient une information supplémentaire : tout se passe dans un plan. En effet, si le corps 2 est immobile, la relation devient : \(\overrightarrow{p_1} = \overrightarrow{p'_1} + \overrightarrow{p'_2}\), un des vecteurs étant la somme des deux autres, la collision est plane :
Si un des deux corps est initialement immobile : collision plane
Collision élastique
Une collision est élastique lorsqu’en plus de la conservation de la quantité de mouvement, il y a conservation de l’énergie cinétique des particules.Cela se produit quand il n’y a pas de déformation des corps, pas d’augmentation de leur énergie interne.
Nous allons nous intéresser à différents cas, le but étant de trouver les vitesses des particules \(\overrightarrow{v'_1}\) et\(\overrightarrow{v'_2}\) après le choc.
Collision élastique à une dimension dite directe
On considère que les corps qui entrent en collision sont en mouvement suivant un axe horizontal :
Collision directe
Objectif : on cherche les expressions des vitesses des deux corps après collision soit \(v'_1\) et\(v'_2\).
Cas général
Écrivons les deux lois de conservation connues (la conservation de la quantité de mouvement a été écrite en projection sur l’axe horizontal) :
Le projectile revient en arrière avec une vitesse identique à celle qu’il avait initialement. La cible ne bouge pas du fait de son inertie : un exemple serait la balle de tennis de table arrivant sur une boule de pétanque.
Si le projectile est beaucoup plus lourd que la cible :
La cible part avec une vitesse double par rapport à celle qu’avait initialement le projectile : c’est le principe du service au tennis.
Si \(m_1=m_2\), alors :
Projectile et cible de même masse
\begin{equation}v'_1 = 0 \qquad v'_2 = v_1\end{equation}
Il y a transfert de vitesse, c’est le principe du carreau à la pétanque ou des oscillations du pendule de Newton (celui avec tous les pendules simples juxtaposés).
Collision élastique à deux dimensions
Cas de la collision de deux objets ponctuels
Si on travaille toujours dans un plan, on peut définir deux axes Ox et Oy perpendiculaires entre eux :
Collision à deux dimensions : ici 2 est fixe
Et appliquer la conservation de la quantité de mouvement selon ces deux axes :
Ainsi, on a trois équations, on ne pourra trouver que trois inconnues. Même si on connaît quatre conditions initiales \((v_{1x}, v_{1y}, v_{2x}, v_{2y})\), on ne pourra pas déterminer les quatre inconnues que sont\(({v'}_{1x},{v'}_{1y}, {v'}_{2x}, {v'}_{2y})\).
Pour résoudre un problème de ce type, un paramètre devra être fixé (voir TD).
Cas de deux objets non ponctuels : exemple particulier des billes de billard
On considère deux billes de billard de même masse. La première est animée d’une vitesse \(\overrightarrow{v_1}\), la seconde est initialement immobile.On néglige tout effet de frottement entre les surfaces des billes. La force de contact qui s’exerce entre elles est dirigée suivant la droite définie par les deux centres des billes : la bille 2 qui était immobile repart alors dans cette direction.
Collision entre deux billes de billard dont une est immobile
Billes à 90°
On remarque que les billes repartent à \(90^{\circ}\) l’une de l’autre. On peut le montrer ainsi : On écrit les deux lois de conservation :
\begin{equation}\text{De la quantité de mouvement :}\quad m\,\overrightarrow{v_1} = m\,\overrightarrow{{v'}_1} + m\,\overrightarrow{{v'}_2} \end{equation}
\begin{equation}\text{De l'énergie cinétique :}\quad \dfrac{1}{2}m\,\overrightarrow{v_1}^2 = \dfrac{1}{2}m\,\overrightarrow{{v'}_1}^2 + \dfrac{1}{2}m\,\overrightarrow{{v'}_2}^2 \end{equation}
On simplifie les masses et les facteurs \(\dfrac{1}{2}\) et on met l’équation de conservation de la quantité de mouvement au carré :
La comparaison de ces deux expressions conduit nécessairement à \(\overrightarrow{{v'}_1}\cdot\overrightarrow{{v'}_2}=0\) soit\(\overrightarrow{{v'}_1} \perp \overrightarrow{{v'}_2}\).
Relations entre les vitesses après la collision et les angles
Sur la figure des deux billes de billard, on peut noter que \(v'_1=v_1\,\cos\,\theta_1\) et\(v'_2=v_1\,\cos\,\theta_2\). Ces relations se démontrent également avec les équations et :
Le rayon des billes et le paramètre d’impact sont les données qui permettent de calculer toutes les grandeurs après collision dans ce cas.
Collision inélastique
Une collision est qualifiée d’inélastique lorsque l’énergie mécanique du système n’est pas conservée : il peut y avoir création ou disparition de corps après le choc, ou bien modification de l’état interne des objets. C’est donc l’énergie interne du système qui est modifiée lors d’une collision inélastique.
Lorsque l’on considère des objets macroscopiques, il y a souvent disparition d’énergie sous forme de chaleur.
Pour les particules microscopiques, il peut y avoir transformation d’énergie en masse (équivalence masse-énergie) et création de particule(s) ou inversement, transformation de masse en énergie et disparition de particules.
Par contre, pour un système isolé, la loi de conservation de la quantité de mouvement totale reste valable.
Exemple
La plupart des collisions sont bien entendues inélastiques. Pour caractériser celles-ci on peut définir un coefficient de restitution, noté \(e\), qui va comparer la vitesse relative des deux corps avant le choc et la vitesse relative des deux corps après le choc.
Ainsi si ce coefficient est égale à 1, la collision est parfaitement élastique, pour les collisions inélastiques, \(e < 1\).
La collision la plus classique est celle de la balle sur le sol : plus le coefficient \(e\) sera important, plus le rebond de la balle sera haut ... (voir TD). Le coefficient de restitution n’étant pas égal à 1, l’énergie perdue est transformée le plus souvent en chaleur ... chose classique.
