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Cours de physique-chimie tous niveaux

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M12 : chutes avec frottements

Ce chapitre est disponible intégralement en vidéos. La playlist dédiée est disponible ici :

Vous pouvez également visionner le chapitre séquence par séquence :

  1. Etude expérimentale, bilan des forces
  2. Résolution du problème dans le cas des frottements linéaires
  3. Vitesse limite, temps caractéristique
  4. Résolution dans le cas des frottements quadratiques, méthode d'Euler
  5. Méthode d'Euler avec le tableur, comparaison expérience, frottement linéaires frottements quadratiques pour la vitesse et la position

Cette version est une version actualisée du cours, nous étudiions précédemment la chute d'un parachutiste (retrouver la vieille version du cours ici), nous avons décidé de faire un étude expérimentale "en direct" avec les étudiants en traitant le cas de la chute du volant de Badminton.

Introduction

Nous avons modélisé au chapitre précédent le corps qui chute dans le champ de pesanteur en considérant que les frottements de l'air étaient négligeables. Cette supposition n'ayant qu'une utilité théorique, nous complexifions ici notre modèle en tenant compte de ces frottements : comment ceux-ci vont modifier la trajectoire du corps qui chute?
Ce sera l'occasion de voir que ces frottements peuvent être de deux types, linéaires ou quadratiques, nous allons alors rencontrer deux types d'équations différentielles : la résolution de la première ne nous posera pas de problème ; mais la résolution de la seconde est moins aisée. Nous en profiterons pour voir une méthode numérique itérative permettant d'approcher la forme de la solution : la méthode d'Euler.\newline Enfin parmi les deux modèles de forces de frottement, lequel se révèle le plus juste pour étudier la chute d'un volant de badminton ? Nous essaierons d'y répondre en confrontant expérience et théories.

Problème 3

On lâche sans vitesse initiale un volant de badminton (de masse 6 g) d'une hauteur de 2 m environ. Quel est son mouvement ? Peut-on par l'expérience, trouver le type de frottement qui s'exerce sur ce volant?

Etude expérimentale

Le principe est classique, après avoir enregistré une vidéo de chute du volant, on l'exploite avec un logiciel permettant d'effectuer une chronophotographie:

image
Etude expérimentale de la chute par pointages

On en retire la position et la vitesse du volant en fonction du temps (d'autres données sont également exploitables avec le logiciel utilisé ici, nommé Tracker (macOS)).

Le but est à présent d'étudier théoriquement notre problème avec les deux types de frottement possibles, et de voir quel modèle colle le plus à la réalité.

Système

Le volant de Badminton considéré ponctuel.

Référentiel et base

On étudie son mouvement dans un référentiel terrestre lié au sol, ce référentiel est considéré galiléen pendant la durée de la chute. On utilisera une base cartésienne à une dimension pour suivre l'évolution du volant : un axe O$z$ vertical descendant avec origine au point de lâcher constituera la base d'étude.

On considère en effet que le mouvement du volant est strictement vertical.

Forces

Bilan des forces

  • Le volant est soumis à son poids noté $\overrightarrow{P}$, force à distance exercée par la Terre sur lui. On rappelle que le poids est égal à la force de gravitation qui s'exerce entre la Terre et le volant.
  • Il est soumis aux forces de frottements de l'air, modélisées par une force de contact notée $\overrightarrow{f}$. Cette force peut aussi être nommée résistance de l'air.

Deux types de forces de frottements

La force de frottements de l’air peut prendre deux formes :

Frottements linéaires

Dans le cas d’une vitesse faible, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

\begin{equation}\overrightarrow{f} = -h\,\overrightarrow{v}\end{equation}

On parle de frottements linéaires. \(h\) est une constante qui dépend de la nature du fluide et des caractéristiques de l’objet. Par exemple pour une sphère de rayon \(r\), on a \(h = 6\,\pi\,\eta\,r\) où \(\eta\) est la viscosité du fluide.

Frottements quadratiques

Dans le cas d’une vitesse importante, la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse :

\begin{equation}\overrightarrow{f} = -h'\,v\,\overrightarrow{v}\end{equation}

On parle de frottements quadratiques. \(h'\) est aussi une constante qui dépend du fluide et des caractéristiques de l’objet mais elle prend une autre forme que par rapport à \(h\) : son expression est du type \(k' = \frac{1}{2}\,\rho\,C_x\,S\) avec \(\rho\) la masse volumique du fluide, \(S\) la surface frontale de l’objet et \(C_x\) le coefficient de trainée qui dépend de la géométrie du corps. Par exemple, voici trois géométries et trois valeurs de $C_x$ :

image
Valeur du $C_\mathrm{x}$ en fonction de la géométrie du corps

Ce coefficient de trainée peut se calculer pour une sphère lisse (sans rugosité) dans le cas d'écoulement à faible vitesse (à faible nombre de Reynolds), il dépend alors du nombre de Reynolds.

Pour des écoulements turbulents (à grand nombre de Reynolds $> 10^3$), on mesure le $C_\mathrm{x}$ en soufflerie. En sachant qu'il est constant pour un corps donné.

Utilisation de la 2ème loi de Newton

\begin{equation}\sum \overrightarrow{F} = m\,\overrightarrow{a} \Longleftrightarrow \overrightarrow{P} + \overrightarrow{f} = m\,\overrightarrow{a}\end{equation}

Résolution du problème dans le cas de frottements linéaires

Equation différentielle

Le PFD donne : \(m\,\overrightarrow{g} - h\,\overrightarrow{v}= m\,\overrightarrow{a}\).

On projette maintenant cette relation sur l’axe Oz vertical descendant.

\begin{equation}\begin{aligned} m\,g - k\,v_z = m\,a &\Longleftrightarrow m\,\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} + k\,v_z = m\,g \\ &\Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} + \dfrac{k}{m}\,v_z = g} \label{equadiff1}\end{aligned}\end{equation}

On obtient donc une équation différentielle en \(v_z\), linéaire du premier ordre à coefficients constants. On sait résoudre cette équation mathématiquement. Une fois l’expression de la vitesse \(v_z\) obtenue, on en déduira la position par intégration.

Une notation particulière

Souvent ce type d’équation sera écrite ainsi :

\begin{equation}\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} + \dfrac{v_z}{\tau} = -g \quad \text{ avec } \quad \tau = \dfrac{m}{h}\end{equation}

La notation \(\tau\) fait référence à un temps. En effet, la grandeur \(\tau = \dfrac{m}{h}\) est un temps caractéristique de la fonction \(v=f(t)\), comme nous allons le voir par la suite.

Solution de l’équation différentielle

Principe

Pour notre problème

On recherche la solution de l’équation complète , qui est une vitesse.

Solution de l’équation homogène

Equation homogène : \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\dfrac{v}{\tau} = 0 \quad\) \(\Longrightarrow \) Solution : \(v_h = A\, e^\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\) avec \(A\) une constante.

On peut vérifier en dérivant une fois \(v_h\) que cette solution vérifie l’équation homogène.

Solution particulière

Le second membre étant constant (égal à \(g\)), on cherche une solution particulière \(v_p = \mathrm{cste}\). Alors \(\dfrac{\mathrm{d}v_p}{\mathrm{d}t} = 0\) et on obtient \(v_p = g\,\tau\).

Solution globale

On a donc :

\begin{equation}v_z = A\, e^\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) + g\,\tau\end{equation}

On peut maintenant déterminer \(A\) à l’aide des conditions initiales :

\begin{equation}\text{A }t=0 \text{ : } v(t=0) = 0 = A + g\,\tau \Longleftrightarrow A = -g\,\tau\end{equation}

Et finalement :

\begin{equation}\boxed{ v_z = g\,\tau\, \left( 1-e^\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)}\end{equation}

Courbe \(|v_z|=f(t)\) et caractéristiques

Courbe

On souhaite visualiser la norme de la vitesse en fonction du temps. Son expression est donc :

\begin{equation}v_z = g\,\tau \left(1 - e^\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)\end{equation}

Voici la courbe obtenue :

image
Vitesse du volant de badminton dans le cas de frottements linéaires

La vitesse augmente d’abord fortement, puis de plus en plus faiblement pour atteindre une valeur limite.

Vitesse limite

  • La valeur de la vitesse limite peut être obtenue en calculant la limite de \(v_z(t)\) quand le temps tend vers l’infini:

    \begin{equation}\lim_{t\rightarrow \infty} v_z(t) = \lim_{t\rightarrow \infty} g\,\tau \left(1 - e^\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right) = g\,\tau\end{equation}

  • On peut également la trouver à partir de l’équation différentielle . En effet, la vitesse limite est constante, on a ainsi :

    \begin{equation}\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}v_{z\,\mathrm{lim}}}{\mathrm{d}t} + \dfrac{v_{z\,\mathrm{lim}}}{\tau} = g \Longleftrightarrow 0 + \dfrac{v_{z\,\mathrm{lim}}}{\tau} = g \\ \Longleftrightarrow v_{z\,\mathrm{lim}} = g\,\tau \\ \Longleftrightarrow \boxed{v_{z\,\mathrm{lim}} = g\,\tau}\end{aligned}\end{equation}

Temps caractéristique

La grandeur \(\tau = \dfrac{m}{h}\) est caractéristique de l’évolution de la vitesse dans le temps. Dans ce type d’évolution, on parle de régime transitoire et de régime permanent :

  • le régime est transitoire tant que la vitesse évolue;
  • le régime est permanent lorsque la vitesse limite est atteinte.

Le temps \(\tau\) est un bon indicateur pour savoir quand on passe d’un régime à l’autre : on considère qu’au bout de \(5\tau\), le régime permanent est atteint.

Détermination de \(\tau\)

On peut obtenir la valeur de \(\tau\) graphiquement : on cherche l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe en \(t=0\) et l’asymptote quand \(t \rightarrow \infty\) de la courbe \(|v_z|=f(t)\).On obtient ainsi la limite entre régime transitoire et régime permanent :

image
Différents régimes lors de la chute avec frottements

Obtention de la position

La fonction \(z=f(t)\) s’obtient en intégrant la fonction \(v_z=f(t)\) :

\begin{aligned} & v_z = g\,\tau \left(1-\exp\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right) = g\,\tau - g\,\tau\,\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) \\ \Longrightarrow & z(t) = g\,\tau\,t+g\,\tau^2\,\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) + \mathrm{cste} \end{aligned}

La constante est obtenue à l’aide de la condition initiale de position :
A \(t=0\), \(z=h\) donc \(g\,\tau^2 + \mathrm{cste} = 0 \Longleftrightarrow \mathrm{cste} = - g\,\tau^2\)

On a finalement :

\begin{equation}\boxed{z(t) = g\,\tau\,t + g\,\tau^2 \left(\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)-1\right)} \label{zt}\end{equation}

On prend comme altitude de départ \(h = 4000\,\mathrm{m}\).

image
Position en fonction du temps dans le cas de frottements linéaires

Résolution dans le cas de frottements quadratiques

Equation différentielle

Le PFD donne : \(m\,\overrightarrow{g} - h'\,v\,\overrightarrow{v}= m\,\overrightarrow{a}\).

On utilise toujours un axe O$z$ vertical descendant :

\begin{equation}\begin{aligned} m\,g - h'\,v_z^2 = m\,a &\Longleftrightarrow m\,\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} + h'\,v_z^2 = m\,g \\ &\Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} + \dfrac{h'}{m}\,v_z^2 = g} \label{equadiff}\end{aligned}\end{equation}

Attention, on ne retrouve pas directement le temps caractéristique $\tau$ à partir de cette équation (elle n'est pas linéaire), nous allons le voir dans le paragraphe suivant.

Cette équation différentielle n’est pas linéaire, nous ne pouvons pas la résoudre facilement.

Vitesse limite

Par contre, nous pouvons d’ores et déjà connaître la vitesse limite :

Lorsque \(\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0\) alors \(v_{z\,\mathrm{lim}} = \sqrt{\dfrac{g\,m}{h'}}\).

Temps caractéristique

Comme nous l'avons vu pour les frottements linéaires, la constante de temps peut être défini à partir de la vitesse limite : $\tau = \dfrac{v_{z\,{\mathrm{lim}}}}{g}$. Donc on a ici : \begin{equation} \tau = \sqrt{\dfrac{m}{g\,h'}} \end{equation} Avec des frottements quadratiques, le régime permanent est atteint au bout de 2,5$\tau$.

Cette équation différentielle, complexe à résoudre, va être l’occasion d’utiliser une méthode de résolution numérique itérative : la méthode d’Euler.

Résolution par la méthode d’Euler

Principe de cette méthode

La méthode d’Euler est une méthode numérique itérative qui permet d’obtenir une solution approchée d’une équation différentielle à partir des conditions initiales. C'est une des méthodes numériques simple à comprendre et à mettre en oeuvre.

Pour plus de détails sur ces méthodes numériques (il existe une autre méthode très utilisée, la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4) ainsi que leur mise en oeuvre avec un tableur ou un programme python, rendez-vous dans le cours sur les méthodes numériques.

Si on réalise un zoom sur la courbe :

image
Dérivée et temps infinitésimal

On peut alors écrire, en considérant un intervalle de temps \(\delta t\) suffisamment petit :

\begin{equation}\left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)_t = \dfrac{\delta v}{\delta t}\end{equation}

On peut alors exprimer la petite variation de vitesse \(\delta v\) qui se produit pendant le petit intervalle de temps \(\delta t\) grâce à l’équation différentielle :

\begin{equation}\text{Si } \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = A\,v^2 + B \quad \text{alors } \quad \boxed{\delta v = (A\,v^2 + B) \times \delta t} \quad \text{lorsque } \delta t \rightarrow 0\end{equation}

Mise en oeuvre
  • On part de la condition initiale, la valeur de \(v(t=0)=v_0\) ;
  • On choisit le pas de calcul, soit la valeur de \(\delta t\) ;
  • On calcule :

    \begin{equation}v_1 = v_0 + \delta v = v_0 + (A\,v_0^2 + B) \times \delta t\end{equation}

  • Et ainsi de suite :

    \begin{equation}v_{i+1} = v_i + (A\,v_i^2 + B) \times \delta t\end{equation}

  • Un tableur viendra nous assister dans la répétition des calculs.
  • Le choix du pas de calcul \(\delta t\) doit être judicieux : il faut prendre un intervalle suffisamment petit pour que l’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que les calculs ne soient pas trop longs.

Utilisation de cette méthode dans notre cas

Obtention de la vitesse en fonction du temps

Pour utiliser cette méthode, il nous faut la valeur des coefficients $A$ et $B$ qui apparaissent dans l'équation différentielle : \begin{align} &\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} + \dfrac{h'}{m}\,v_z^2 = g \\ \Longleftrightarrow &\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{h'}{m} v_z^2 +g = A\,v_z^2 + B \qquad \text{avec} \; A = -\dfrac{h'}{m} \; \text{et} \; B = g \end{align}

La valeur de $B$ est donc connue, on peut évaluer la valeur de $A$ à partir de la vitesse limite atteinte par le volant. On prendra ici, une vitesse limite égale à $5\,\mathrm{m.s^{-2}}$. Donc : \begin{equation} v_{z_{\mathrm{lim}}} = \sqrt{\dfrac{g\,m}{h'}} = \sqrt{\dfrac{g}{-A}} \Longrightarrow A = -\dfrac{g}{v_{z_{\mathrm{lim}}}^2} = -\dfrac{9,81}{5^2} = -0,3924\,\mathrm{SI} \end{equation}

On connaît également la vitesse initiale: $v_z(t=0) = 0$. On peut donc appliquer la méthode en choisissant un pas $\delta t$ judicieux. Comme nous allons comparer théorie et expérience, on prendra le pas du traitement image par image de la vidéo de l'expérience: $\delta t= 3,34 \times 10^{-2}\,\mathrm{s}$. Alors :

$v_1 = v_0 + (A\,v_0^2 + B)\times \delta t = B\,\delta t = 3,28 \times 10^{-1}\,\mathrm{m.s^{-1}}$
$v_2 = v_1 + (A\,v_1^2 + B)\times \delta t = 6,54 \times 10^{-1}\,\mathrm{m.s^{-1}}$

...

A l’aide d’un tableur, on répète les calculs jusqu’au temps voulu. On peut ensuite tracer la courbe \(v_z=f(t)\). Ci-dessous, on a tracé la courbe pour le pas de calcul correspondant à l'intervalle entre les images de la vidéo.

image
Méthode d'Euler appliquée au cas de frottements quadratiques
Qu’en est-il de la position en fonction du temps?

Pour obtenir la courbe de position en fonction du temps, on part de la donnée de vitesse et on calcule la distance parcourue par la formule classique $v = \dfrac{d}{t}$: on considère alors que pendant un intervalle de temps, la vitesse est constante. On utilise cette formule pour chaque ligne du tableur en rajoutant $v \times t$ à la position précédente.

image
Position en fonction du temps dans le cas de frottements quadratiques

Comparaison théorie-expérience : quel type de frottements est le plus approprié pour l'étude du mouvement de chute du volant de badminton?

Comparons à présent le mouvement réel du volant, la modélisation en $h\,v$ et la modélisation en $h'\,v^2$ :

image
Comparaison théories-expérience

Même si sur notre chute la vitesse limite n'est pas atteinte, on penche plutôt pour un modèle de frottements quadratiques pour la chute d'un volant de badminton.

On peut également faire appel la mécanique des fluides pour répondre à cette question. En effet, on peut changer de point de vue, et plutôt que de considérer la chute du volant dans l'air, on étudie l'écoulement de l'air autour du volant fixe.
Cet écoulement est souvent complexe, il n'est pas seulement caractérisé par la vitesse relative $v$ du fluide, mais par un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds :

\begin{equation}R_e = \dfrac{v\,d\,\rho}{\eta}\end{equation}

\(\left\{\begin{array}{l} \text{$Re$ : nombre de Reynolds sans dimension.}\\ \text{$v$ : vitesse relative de fluide en $\mathrm{m.s^{-1}}$}\\ \text{$d$ : taille caractéristique de l'écoulement en m} \\ \text{$\rho$ : masse volumique du fluide en $\mathrm{kg.m^{-3}}$}\\ \text{$\eta$ : viscosité du fluide en $\mathrm{Pa.s}$}\\ \end{array}\right.\)

On distingue alors plusieurs types d’écoulement :

  • si \(R_e < 1\), l’écoulement est dit laminaire. Dans ce cas, la force de frottements fluides est proportionnel à la vitesse : frottements linéaires, \(\overrightarrow{f} = -h\,\overrightarrow{v}\);
  • si \(R_e > 10^3\), l’écoulement est dit turbulent. Alors la force de frottements fluides est quadratique : \(\overrightarrow{f} = -h'\,v\,\overrightarrow{v}\).

Dans le cas de la chute du volant, le fluide est l'air, sa viscosité est d'environ $\eta = 1,7 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa.s}$ ; le nombre de Reynolds a de grande chance d'être supérieur à $10^3$.

Faisons un petit calcul :

  • Vitesse du volant : dans notre cas $v = 2,5\,\mathrm{m.s^{-1}}$
  • Diamètre du volant $d$ : 7 cm ;
  • Masse volumique de l'air : $\rho = 1,2\,\mathrm{kg.m^{-3}}$
  • Viscosité dynamique de l'air à 25°C : $\eta = 1,7 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa.s}$

\begin{equation} \mathcal{R}_e = \dfrac{v\,d\,\rho}{\eta} = \dfrac{2,5 \times 0,07 \times 1,2}{1,7 \times 10^{-5}} = 1,2 \times 10^{4} \end{equation}

L'écoulement est turbulent et les frottements quadratiques.

Références