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EM6 : Dipôle magnétique
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Introduction
Une nouvelle fois ce chapitre va être, en partie au moins, un miroir du chapitre sur le dipôle électrostatique.
Comme toute distribution de charges électriques statiques a pu être considérée comme un dipôle, tout circuit électrique fermé parcouru par un courant possède ce que l’on appelle un moment dipolaire magnétique, définissant un dipôle magnétique.
Nous allons donc pouvoir calculer le champ magnétique créé par ce dipôle à une distance \(r=OM\), et étudier le comportement d’un dipôle plongé dans un champ magnétique.
Cette notion est importante notamment par le fait que les propriétés magnétiques de la matière (aimants notamment) peuvent être interprétées grâce à l’existence de dipôles magnétiques microscopiques.
Moment magnétique et dipôle magnétique
Surface orientée
Soit une spire (boucle de courant filiforme) parcourue par un courant d’intensité I, on définit une surface orientée par l’intermédiaire d’un vecteur surface :
\begin{equation}\overrightarrow{S} = \iint \mathrm{d}\overrightarrow{S} = \iint \mathrm{d}S \overrightarrow{n}\end{equation}Moment magnétique
Le moment magnétique d’une boucle de courant est donné par :
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{m}=I\,\overrightarrow{S}=I\,S\overrightarrow{n}}\end{equation}Ce moment s’exprime donc en \(A \times m^{2}\).
La contribution d’Oersted
L’expérience bien connue d’Oersted en 1820 a permis de rapprocher les aimants des courants : il remarqua qu’un fil parcouru par un courant avait le pouvoir de faire dévier une aiguille aimantée à proximité, elle prend alors une direction orthogonale à celle du fil.
L’expérience est identique avec une spire de courant à la place de l’aiguille.
Ainsi, un aimant et une spire de courant se comportent magnétiquement de la même manière, on pourra alors prendre l’un pour l’autre. Cela nous permettra d’interpréter les propriétés magnétiques de la matière grâce à des spires de courant microscopiques possédant des moments magnétiques.
Notion de dipôle et approximation dipolaire
On parle de dipôle magnétique lorsque la spire de courant satisfait aux conditions de l’approximation dipolaire : pour le dipôle actif (créateur de champ magnétique), il faut que la dimension de la spire soit petite devant la distance à laquelle on calcule le champ créé (\(r\gg R\) si \(R\) est le rayon de la spire).
Pour le dipôle passif, il faut que la dimension du dipôle soit petite devant la distance caractéristique de variation du champ dans lequel est place le dipôle.
Champ magnétique créé par un dipôle magnétique
Expression du champ
On se place dans les mêmes conditions que pour le calcul du champ électrique créé par un dipôle électrique. Le champ dépendra donc de la distance au moment magnétique et de l’angle entre le moment magnétique du dipôle et le vecteur \(\overrightarrow{OM}\).
On trouve alors, en coordonnées sphériques, le champ suivant :
Ces expressions sont identiques à celles du champ électrique créé par le dipôle électrique, on a remplacé \(p\) par \(M\), \(\epsilon_0\) par \(\mu_0\).
Ainsi, si les champs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\) créés par les dipôles électriques et magnétiques sont similaires, l’allure des lignes de champ doit également correspondre.
Le spectre magnétique autour d’un dipôle magnétique est représenté sur la figure ci-dessous, si on regarde "de loin" le dipôle.
Vérification à partir du champ créé par une spire ciculaire
Voici l’expression du champ \(\overrightarrow{B}\) créé par une spire de rayon R parcourue par un courant I :
\begin{equation}\overrightarrow{B}=\dfrac{\mu_0\,I\,R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\overrightarrow{u}_z \end{equation}Travaillons d’abord sur \eqref{dipole-mag} :
On se place sur l’axe du dipôle donc \(\theta = 0\) d’où \(\sin \theta = 0\) et \(\cos \theta = 1\). On a aussi \(r = z\).
Et enfin \(M=IS=I\pi\,R^2\) : donc :
Puis travaillons sur spire :
Dans l’approximation dipolaire, \(z>>R\) donc \(R^2+z^2=z^2\).
donc :
On retrouve bien la même expression en \eqref{dipole-mag-modif} et en \eqref{spire-modif}.
Action d’un champ magnétique sur un dipôle magnétique passif
Force de Laplace
La force de Laplace a été vue dans le secondaire, notamment avec les rails de Laplace : on réalise un circuit composé d’un U en cuivre fermé par un barreau en cuivre mobile. Ce barreau mobile est placé dans l’entrefer d’un aimant en U. Lorsque l’on fait circuler un courant dans le circuit, le barreau mobile se déplace car il subit la force de Laplace :
\begin{equation}\overrightarrow{F} = \int \mathrm{d}\overrightarrow{F} = \int I\,\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \wedge \overrightarrow{B}\end{equation}Tout circuit parcouru par un courant et plongé dans un champ magnétique subit cette force
Cas du dipôle magnétique
Le dipôle subit donc la force décrite précédemment. Mais celui-ci est modélisé par une spire parcourue par un courant I constant et elle est plongée dans un champ uniforme, on peut donc écrire :
\begin{equation}\overrightarrow{F} = I \int \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \wedge \overrightarrow{B}\end{equation}Et comme il s’agit d’une spire (boucle fermée), on a $\displaystyle\oint \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \overrightarrow{0}$ et finalement :
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}}\end{equation}On peut également montrer que les forces élémentaires qui s'exercent sur deux éléments infinitésimaux de spires symétriques par rapport à son centre sont égales en norme mais opposées, leur résultante est nulle:
L'intégrale sur une spire fermée de l'élément infinitésimal de longueur, $\displaystyle\oint \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}$, est nulle car l'élément est vectoriel. L'intégrale $\displaystyle\oint \mathrm{d}\ell$ n'est pas nulle est vaut $2\pi\,R$ si $R$ est le rayon de la spire.
Un dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique uniforme ne se déplace pas.
Moment subi par un dipôle plongé dans un champ
Comme pour le dipôle électrique, le dipôle magnétique ne subit pas de force mais probablement un moment non nul. Appelons O le centre de la spire, P le centre de l’élément \(\overrightarrow{d\ell}\) de spire, et calculons le moment subi par un élément de spire :
\begin{equation}\mathrm{d}\overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{OP} \wedge d\overrightarrow{F} = \overrightarrow{OP} \wedge I\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \wedge \overrightarrow{B}\end{equation}On utilise la relation permettant de calculer un double produit vectoriel :
\(\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}\)
On peut ensuite montrer que \(\overrightarrow{OP}\) et \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\) sont orthogonaux et donc que \(\overrightarrow{OP} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=0\) : Exprimons ces deux vecteurs dans une base cylindrique : \(\overrightarrow{OP}=R\,\overrightarrow{u}_r\) et \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=R\mathrm{d}\theta\,\overrightarrow{u}_{\theta}\)
\(\Rightarrow\) CQFD.
Il reste donc : \(\mathrm{d}\overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{F})=I(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{B})\times \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\).
A ce stade, il faut intégrer cette relation, mais avant cela, on projettera les vecteurs dans une base cartésienne, car dans la base cylindrique, il aurait fallu intégrer les vecteurs unitaires (leur direction dépend de l’intégration ...).
On donnera donc le résultat final :
où \(\overrightarrow{M}\) est le moment magnétique de la spire. On retrouve la même expression du moment subi par le dipôle électrique.
Ce moment a donc le même effet que pour le dipôle électrique :
Sous l’effet d’un champ magnétique extérieur, un dipôle a tendance à s’orienter dans le sens du champ.
Énergie potentielle
Par analogie avec le dipôle électrique, on peut écrire :
\begin{equation}\boxed{E_P = -\overrightarrow{M}\cdot \overrightarrow{B}}\end{equation}Force subie par le dipôle dans un champ non uniforme
A l’aide de la même analogie, on peut exprimer la force que subit un dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur non uniforme :
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,E_P = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,(\overrightarrow{M}\cdot \overrightarrow{B})}\end{equation}Dipôle magnétique et champ tournant : principe du moteur
Si un dipôle a tendance à s'orienter dans le sens du champ magnétique soumis, en créant un champ magnétique tournant dans lequel on plongerait un dipôle magnétique pouvant tourner sur un axe, on constituerait un moteur.
On pourrait faire un champ tournant en mettant en rotation une bobine ... avec un moteur, on tourne alors en rond.
Il existe un moyen de faire ce champ tournant en utilisant deux bobines orientées à 90$^\circ$ l'une de l'autre:
On sait que le champ créé par une bobine est proportionnel à l'intensité du courant qui la traverse, on peut donc écrire:
\begin{align*} \overrightarrow{B_x} &= K\,I_x\,\overrightarrow{u}_x \\ \overrightarrow{B_y} &= K\,I_y\,\overrightarrow{u}_y \end{align*}
Avec $K$ une constante identique pour les deux champs si les caractéristiques des bobines (nombre de spires, longueurs,...) sont les mêmes.
Pour faire tourner $\overrightarrow{B}$, il faut maintenant faire en sorte que le champ $\overrightarrow{B_x}$ diminue en même temps que le champ $\overrightarrow{B_y}$ augmente, puis que le champ $\overrightarrow{B_x}$ augmente "en négatif" pendant que $\overrightarrow{B_y}$ diminue ...
Pour faire varier les champs, il faut faire varier les intensités. Prenons des intensités fonctions sinusoïdales du temps:
\begin{align*} \overrightarrow{B_x} &= K\,I_0\,\cos\,(\omega\,t)\,\overrightarrow{u}_x \\ \overrightarrow{B_y} &= K\,I_0\,\sin\,(\omega\,t)\,\overrightarrow{u}_y \end{align*}
On reconnaît l'équation d'un cercle décrit à la pulsation $\omega$. Le champ $\overrightarrow{B}$ est un champ tournant, un dipôle magnétique plongé dans ce champ tentera à tout instant de s'orienter dans le sens du champ et tournera à son tour.
Aimantation de la matière
Le spin des électrons
L’origine magnétique de la matière, comme tout existence de magnétisme, est liée à des courants, donc à des déplacements de charges. Dans les atomes, il y a déplacement de charges lorsque l’électron tourne autour du noyau et même lorsque l’électron tourne autour de lui-même.
Cette rotation de l’électron autour de lui-même (appelée spin) peut être modélisée par un dipôle magnétique possédant un certain moment magnétique.
Spins et magnétisme macroscopique
Dans certains matériaux, les spins des électrons sont orientés indifféremment dans l’espace. Ainsi globalement, la résultante des champs magnétiques est nulle, le matériau ne sera pas magnétique.
Dans d’autres, les spins des électrons créent des champs bien alignés les uns par rapport aux autres : des milliards d’électrons qui créent des petits champs magnétiques alignés donnent au final un champ magnétique non négligeable !
Trois types de matériaux
Matériau diamagnétique (Cuivre, Or) : il n’y a pas de moment magnétique permanent dans ces matériaux. Mais soumis à un champ extérieur, il y a création d’un champ magnétique induit qui s’oppose au champ magnétique extérieur. L’effet disparaît en même temps que le champ extérieur.
Matériau paramagnétique (Aluminium, Platine) : il existe dans ces matières des moments magnétiques permanents mais orientés indifféremment dans l’espace. Sous l’effet d’un champ extérieur, les moments s’orientent dans le sens de ce champ ce qui le renforce. Les matériaux paramagnétiques sont faits d’atomes qui ont des couches électroniques incomplètes.
L’effet disparaît en même temps que le champ extérieur.Matériau ferromagnétique (Fer, Cobalt, Nickel) : dans des domaines restreints de ces matériau existent des moments magnétiques permanents orientés dans le même sens : il existe donc une certaine aimantation naturelle.
De plus, à l’issu de l’exposition à un champ magnétique extérieur, ces matériaux peuvent conserver une aimantation rémanente, parfois très forte (aimants).
Modèle microscopique des matériaux ferromagnétiques
Comme nous l’avons dit, les spins sont orientés de la même manière dans des portions de matière appelé domaine de Weiss. Ces domaines sont séparés par des parois appelées parois de Bloch. Par application d’un champ extérieur, il y a tendance à l’uniformité des orientations dans les différents domaines : au fur et à mesure, les parois de Bloch disparaissent, les domaines de Weiss s’agrandissent jusqu’à saturation du matériau.
On peut également noter que pour supprimer une magnétisation rémanente, il faut recréer des domaines de Weiss avec des orientations différentes. Pour cela, l’agitation thermique est un très bon outil.
Références
- "Electromagnétisme PCSI" - P.Krempf - Editions Bréal 2003 ;
- "Physique Cours compagnon PCSI" - T.Cousin / H.Perodeau - Editions Dunod 2009 ;
- "Electromagnétisme 1ère année MPSI-PCSI-PTSI" - JM.Brébec - Editions Hachette ;
- "Cours de physique, électromagnétisme, 1.Electrostatique et magnétostatique" - D.Cordier - Editions Dunod ;
- http://www.cvgg.org/vincent/Cours_electricite_et_magnetisme/CoursElectriciteMagnetismeSansImages005.html
- http://castel52.free.fr/magnetisme-spin-etude-microscopique-materiaux-magnetiques.html
