flèche de retour

Licence 1 > Electromagnétisme 1 > Cours 3 : Dipôle électrostatique

EM3 : Dipôle électrostatique

Ce chapitre est disponible intégralement en vidéos. La playlist dédiée est disponible ici :

Vous pouvez également visionner une vidéo isolément :

  1. Définition du dipôle, calcul du potentiel créé en un point de l'espace
  2. Obtention du champ, dipôle passif : forces et moment de force, énergie potentielle et positions d'équilibre

Introduction

La notion de dipôle a une importance particulière en chimie, car dans les molécules, les liaisons entre deux atomes d’électronégativité différente peuvent être assimilées à des dipôles.
Le comportement d’un dipôle électrique plongé dans un champ permet d’expliquer pourquoi le champ électrique créé en solution par un ion permet de polariser les molécules du solvant afin qu’elles s’orientent convenablement autour de l’ion en question.

L’énergie d’interaction dipôle-dipôle permettra d’éclaircir la notion de forces de Van der Waals. Ces forces se déclinent en 4 forces :

Définition

Le dipôle est un doublet

Un dipôle électrostatique est un doublet composé de deux points portant des charges opposées : le point P qui porte la charge $+q$ et le point N qui porte la charge $-q$. La distance NP est considérée petite et constante.

Moment dipolaire

On associe une grandeur à ce dipôle, appelée moment dipolaire et définie par :

\begin{equation}\overrightarrow{p} = q\,\overrightarrow{NP}\end{equation}

La charge q s’exprime en Coulomb (C), la distance NP en mètre (m) donc le moment dipolaire s’exprime en Coulomb mètre (C\(\times\)m).
Néanmoins, on lui préfère généralement une autre unité, plus appropriée (ordre de grandeur), le Debye (D) : \( 1 D = \frac{1}{3} \times 10^{-29}\, C\times m\).

Dipôle et moment dipolaire
Dipôle électrostatique et moment dipolaire

Distribution de charges et dipôle

La notion de moment dipolaire est importante car généralement, on peut assimiler une distribution quelconque électriquement neutre de charges électriques en l’association d’un barycentre des charges positives et d’un barycentre des charges négatives distants de NP et constituant un dipôle électrique.

En chimie par exemple, bien qu’elles soient neutres, certaines molécules possèdent un moment dipolaire. C’est le cas de la molécule d’eau, dont le moment dipolaire vaut 1.85 D.

Molécule d’eau et moment dipolaire
Molécule d’eau et moment dipolaire

Champ et potentiel créé par le dipôle électrostatique actif

Approximation dipolaire

Le dipôle électrostatique est actif lorsque l’on se place suffisamment loin du dipôle, le point M où l’on observe le champ créé par le dipôle vérifie \(r = OM >> NP\).
Cette relation définit l’approximation dipolaire : grâce à elle, on aura la possibilité de négliger certains termes dans l’expression du champ et du potentiel.

Calcul du potentiel créé par un dipôle dans l’approximation dipolaire

On étudie le potentiel créé par un dipôle NP de moment dipolaire \(\overrightarrow{p}=q\,\overrightarrow{NP}\) en un point M repéré en coordonnées sphériques par $r$, \(\theta\) et \(\varphi\).

La distance NP sera noté $d$.

Dipôle électrostatique et coordonnées sphériques
Dipôle électrostatique et coordonnées sphériques

Le potentiel électrostatique créé par ce doublet est égal à la somme des potentiels créés par chacune des charges du doublet :

\begin{equation}V(M) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0\,PM} - \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0\,NM} = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left( \dfrac{1}{PM}-\dfrac{1}{NM}\right)\end{equation}

Le potentiel étant pris nul à l’infini, nous ne faisons pas intervenir de constante.

Or on connaît le théorème de Pythagore généralisé qui dit que :

\begin{equation}PM^2 = PO^2 + OM^2 - 2\,PO\,OM \cos \theta\end{equation}

et que :

\begin{equation}NM^2 = NO^2 + OM^2 - 2\,NO\,OM \cos (\pi-\theta)\end{equation}

Or on a OM = $r$ et PO=NO=\(\dfrac{d}{2}\), on sait que \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\) donc :

\begin{align*} PM &= \left(\frac{d^2}{4}+r^2-d\,r \cos \theta \right)^\frac{1}{2} \hspace{1cm} NM = \left(\frac{d^2}{4}+r^2+d\,r \cos \theta \right)^\frac{1}{2}\\ PM &= r \left(\frac{d^2}{4r^2}+1-\dfrac{d}{r} \cos \theta \right)^\frac{1}{2} \hspace{1cm} NM = r \left(\frac{d^2}{4r^2}+1+\dfrac{d}{r} \cos \theta \right)^\frac{1}{2}\end{align*}

Finalement :

\begin{align*} \dfrac{1}{PM}=\dfrac{1}{r}\left(1 - \dfrac{d}{r} \cos \theta + \dfrac{d^2}{4r^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\hspace{2cm} \dfrac{1}{NM}=\dfrac{1}{r} \left(1 + \dfrac{d}{r} \cos \theta + \dfrac{d^2}{4r^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\end{align*}

Connaissant l’approximation dipolaire (\(r >> d\)), nous pouvons effectuer un développement limité des expressions ci-dessus au premier ordre en \(\displaystyle\frac{d}{r}\).

Revenons maintenant à l’expression de notre potentiel :

\begin{align*} V(M) &= \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left( \dfrac{1}{PM}-\dfrac{1}{NM}\right) \\ &= \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{r}\left(\left(1 + \dfrac{d}{2r}\cos \theta \right) - \left((1 - \dfrac{d}{2r}\cos \theta\right)\right)\end{align*}

\begin{equation}\boxed{V(M) = \dfrac{q\,d\,\cos \theta}{4\pi\epsilon_0\,r^2}= \dfrac{p\,\cos \theta}{4\pi\epsilon_0\,r^2}}\end{equation}

Car \(p=q\,d\) est la norme du moment dipolaire. On peut donc écrire ce potentiel à l’aide du vecteur moment dipolaire :

\begin{equation}\boxed{V(M) = \dfrac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{r}}{4\pi\epsilon_0\,r^3}}\end{equation}

Champ créé par un dipôle dans l’approximation dipolaire

On utilise la relation qui dit que le champ dérive du potentiel : \( \overrightarrow{E} = -\overrightarrow{\mathrm{\mathrm{grad}}}\, V\). D’où en coordonnées polaires :

\begin{equation}\left|\begin{matrix} -\dfrac{\partial{V}}{\partial{r}} = E_r\\ -\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial{V}}{\partial{\theta}} = E_{\theta} \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left|\begin{matrix} E_r = \dfrac{2p \cos\theta}{4\pi\epsilon_0\,r^3}\\ E_{\theta} = \dfrac{p \sin \theta}{4\pi\epsilon_0\,r^3} \end{matrix}\right.\end{equation}

Lignes de champ et équipotentielles associées à un dipôle

Nous avons vu ces allures dans le TD-EM12 :

Lignes de champ et équipotentielles d'un dipôle électrostatique
Lignes de champ et équipotentielles d'un dipôle électrostatique horizontal

Cas du dipôle passif

Le dipôle est dit passif lorsque l’on étudie l’action d’un champ électrique extérieur sur le dipôle.

Cas d’un champ extérieur uniforme

Force appliquée

La résultante des forces appliquées sur le moment est la somme de la force de Coulomb qui s’exerce sur P et de la force de coulomb qui s’exerce sur N.

Comme on le voit sur le schéma ci-contre, ces deux forces sont de même valeur mais opposée, la résultante des forces appliquées sur le dipôle est nulle.

Forces qui s’exercent sur un dipôle baigné dans un champ extérieur
Forces qui s’exercent sur un dipôle baigné dans un champ extérieur

Moment des forces appliquées

Au vu des forces appliquées sur ce dipôle, on s’attend à ce que le moment de ces forces soit non nul. Calculons celui-ci en un point O situé à mi distance de N et de P :

\begin{align*} \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{F_P}+\overrightarrow{F_N}) &= \overrightarrow{OP} \wedge \overrightarrow{F_P} + \overrightarrow{ON} \wedge \overrightarrow{F_N}\\ &=(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{ON}) \wedge q\overrightarrow{E}\\ &=q\overrightarrow{NP} \wedge \overrightarrow{E}\\ &= \overrightarrow{p} \wedge \overrightarrow{E} \end{align*}

Ce moment est donc non nul et est indépendant du point choisi pour le calculer.

La résultante des forces appliquées au dipôle est nulle mais le moment de celles-ci tend à faire s’orienter spontanément le dipôle dans le sens du champ.

\begin{equation}\overrightarrow{F} = \overrightarrow{0} \hspace{0.5cm} \text{et} \hspace{0.5cm} \overrightarrow{M_0} = \overrightarrow{p} \wedge \overrightarrow{E} \nonumber\end{equation}

Énergie potentielle

Cette énergie est toujours égale au travail que l’opérateur effectuerait pour placer le dipôle depuis l’infini à sa position finale.
L’énergie pour la charge située en N s’écrit : \(E_{P}(N) = -q\times V(N)\) où \(V(N)\) est le potentiel du champ extérieur au point N.
L’énergie pour la charge située en P s’écrit : \(E_{P}(P) = +q\times V(P)\) où \(V(P)\) est le potentiel du champ extérieur au point P.
On a donc :

\begin{equation}E_P = E_{P}(N)+E_{P}(P) = q\times (V(P) - V(N))\end{equation}

Faisons apparaître le moment dipolaire dans cette expression. Pour cela on va écrire la circulation du champ \(\overrightarrow{E}\) entre les points N et P de deux façons :

  1. En utilisant le fait que le champ \(\overrightarrow{E}\) est uniforme :

    \begin{equation}\int_N^P \overrightarrow{E} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \overrightarrow{E} \cdot \int_N^P \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{NP}\end{equation}
  2. En utilisant la relation \(\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, V\) :

    \begin{equation}\int_N^P \overrightarrow{E} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = \int_N^P -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} = V(N)-V(P)\end{equation}

On obtient alors :

\begin{equation}\overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{NP} = V(N)-V(P) \hspace{0.5cm} \text{et} \hspace{0.5cm} E_P = q \times -\overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{NP} = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} \end{equation}

L’énergie potentielle électrostatique d’un dipôle plongé dans un champ extérieur est :

\begin{equation}E_P = q(V(P)-V(N)) = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} \nonumber\end{equation}

Énergie potentielle et position d’équilibre

D’après l’expression ci-dessus, l’énergie potentielle sera extrémale lorsque \(\overrightarrow{p}\) et \(\overrightarrow{E}\) seront colinéaires. Ainsi le dipôle admet deux positions d’équilibre :

forces sur dipôle dans un champ uniforme
Positions d’équilibre stable et instable du dipôle en présence d’un champ uniforme

Cas d’un champ extérieur non uniforme

Pour le calcul du moment des forces et de l’énergie potentielle, on use de l’approximation dipolaire dans le cas du dipôle passif en admettant que le champ est uniforme sur la dimension du dipôle (par exemple dans le cas des molécules, la longueur caractéristique de variation de \(\overrightarrow{E}\) est toujours très grande devant la taille des molécules). Ainsi, les équations moment et Ep restent valables :

\begin{equation}\overrightarrow{M} = \overrightarrow{p} \wedge \overrightarrow{E} \hspace{0.5cm} \text{et} \hspace{0.5cm} E_P = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} \nonumber\end{equation}

Et le dipôle a tendance à s’aligner dans le sens du champ.

Remarque : Une démonstration de la validité de cette approximation est décrite dans le Hprépa Electromagnétisme 1ère année.

Par contre pour le calcul de la force résultante exercée sur le dipôle, on ne peut pas négliger la variation de \(\overrightarrow{E}\) : Si le champ n’est pas uniforme, les charges -q et +q sont soumis à des forces différentes et la résultante des forces n’est plus nulle.
Cette résultante étant une force de Coulomb, et la force de Coulomb étant conservative (son travail ne dépend pas du chemin suivi), la résultante des forces dérive de l’énergie potentielle électrostatique du dipôle :

\begin{equation}\overrightarrow{F} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,E_P = -\overrightarrow{\mathrm{grad}} (-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E})\end{equation}

La force fait donc se diriger le dipôle vers les champs forts.

On peut expliquer aussi cela sur un schéma :

pivotement et déplacement du dippole dans un champ non uniforme
Déplacement et alignement d’un dipôle dans un champ extérieur non uniforme

Des phénomènes bien connus ... enfin on croyait !

L'explication la plus classique de l'expérience de déviation du filet d'eau par une règle préalablement frottée ...

Vidéo du site http://www.ampere.cnrs.fr/

... fait intervenir la notion de dipôle :

Sur le site www.ampere.cnrs.fr, vous trouverez un article complet de Christine Blondel et Bertrand Wolff qui explique que l'attraction des corps légers n'est pas si simple :
Pour résumer, cet article montre que ce serait plutôt la nature conductrice de l'eau ou des petits morceaux de papiers (même si cet aspect conducteur est infime) qui expliquerait la forte attraction que l'on peut obtenir avec une simple règle frottée. Pour démontrer cela, les auteurs comparent les effets d'une règle frottée sur des corps plastiques, considérés comme isolants de référence, et sur des morceaux de papier : la différence d'attraction est flagrante.

En ce qui concerne l'expérience du mince filet d'eau dévié (expérience dite de Desaguliers), ce même article décrit l'explication courante (fausse ?) et l'explication qui admet que l'eau est conductrice.
Un article dans le BUP (bulletin de l'union des physiciens) de Bruno Jech, technique, s'intéresse plus particulièrement à cette expérience et ses explications.

Références

Derniers ajouts

Physique à l'ENSCR

physique àl'ENSCR

Retrouver, entre autres, des contenus de travaux pratiques, produits par l'équipe de physique de l'ENSCR


>
  • http://www.sciences.ch/htmlfr/electrodynamique/electrodynchmpelectrique01.php
  • Le site ampere.cnrs.fr
  • Documents de référence

    Derniers ajouts

    Liens

    Physique à l'ENSCR

    physique àl'ENSCR

    Retrouver, entre autres, des contenus de travaux pratiques, produits par l'équipe de physique de l'ENSCR