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TD M23 : changement de référentiels,
référentiels non galiléens

Exercice 1 : une balance dans un ascenseur

Soit un ascenseur en mouvement rectiligne le long d’un axe O$y$ ascendant d’un référentiel fixe galiléen. Un homme de \(m=80\,\mathrm{kg}\) s’est installé sur un pèse-personne à l’intérieur de l’ascenseur.
La cabine démarre avec une accélération \(a_y=3\,\mathrm{m.s^{-2}}\) dans une première phase, elle atteint une vitesse constante \(v_y=\mathrm{cste}\) pendant un certain temps avant de décélérer avec une accélération \(a_y=-3\,\mathrm{m.s^{-2}}\).

1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au système "homme" dans un référentiel lié à la cabine d’ascenseur. Expliciter les différents termes lorsque c’est possible.
2. Projeter cette relation sur l’axe O$y$ et donner la relation entre la réaction \(R\) de la balance, \(g\) l’intensité de la pesanteur et \(a_y\) l’accélération de la cabine.
3. Sachant que l’indication donnée par le pèse-personne est reliée à la réaction \(R = m^{\ast}\times g\) ; déterminer la masse $m^{\ast}$ qu’indique la balance au cours des trois phases (on donne \(g=9.8\,\mathrm{m.s^{-2}}\)).

Exercice 2 : pendule simple en mouvement de translation

Soit un pendule simple fixé sur un chariot mobile le long d’un axe Ox horizontal. Ce pendule est constitué d’une masse m suspendu à un fil inextensible de longueur \(\ell\).
On cherche à connaître l’angle \(\theta\) que fait le pendule avec la verticale en fonction de l’accélération du chariot. On note cette accélération \(a_x\) et on sait qu’elle est constante.
On sait enfin que l’angle \(\theta\) est également constant.

1. Établir la relation entre l’angle \(\theta\) et l’accélération \(a_x\).
2. Sachant que l’angle \(\theta\) est orienté dans le sens horaire, discuter de son signe en fonction du signe de \(a_x\).

Exercice 3 : mouvement d’un point M glissant sans frottement sur une tige en rotation uniforme

Soit un point M de masse $m$ glissant sans frottement le long d’une tige en rotation uniforme de vitesse \(\omega = \dot{\theta}\) dans le plan xOy.
La longueur de la tige est \(\ell = 1m\), la vitesse angulaire de la tige est \(\omega=6\,\mathrm{rad.s^{-1}}\). Enfin, on connaît les conditions initiales :

• \(OM = \dfrac{\ell}{4}=0,25\,\mathrm{m}\).
• \(v(M) = 0\).

Déterminer la date à laquelle la masse M quitte la tige.

Indication : au cours de la résolution de cet exercice, il faudra poser \(X=e^{\omega\,t}\).

Exercice 4 : une perle sur un anneau en rotation

Un anneau de rayon \(r\) peut tourner sans frottement autour d’un axe vertical passant par son centre à la vitesse angulaire \(\Omega\) constante. Une perle M de masse \(m\) est enfilée dans l’anneau et peut se mouvoir sans frottement sur celui-ci. On repère celle-ci par un angle \(\theta\) qui est l’angle entre l’axe vertical et la position du point M à l’instant \(t\).

1. Faire un bilan des forces qui s’exercent sur la perle M dans le référentiel lié à l’anneau en rotation.
   
   

2. Expliquer pourquoi l’utilisation d’un théorème énergétique est judicieux pour étudier ce problème.
   
   

3. Exprimer l’énergie cinétique du point M en fonction de \(r\) et \(\theta\).
   
   

4. Énergies potentielles :
   
   
   1. Exprimer la différentielle de l’énergie potentielle de pesanteur \(\mathrm{d}E_P\) puis l’intégrer pour donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur en fonction de \(r\) et \(\theta\).
      
      

   Pour cette question, on part de la relation entre le travail élémentaire de la force qui dérive de l'énergie potentielle : $-\mathrm{d}E_{PP} = \overrightarrow{P} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}$.
   

   2. Faire de même pour l’énergie potentielle dont dérive la force centrifuge.
      
      

   Il faut faire le même travail que précédemment, la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle d'inertie d'entraînement.

   3. En déduire l’expression globale de l’énergie potentielle du point M. On prendra l’origine des énergies potentielle en \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\).
      
      

   Dans cette question, on somme les deux énergie potentielles écrites dans les questions précédentes, puis on trouve la valeur de la constante à l'aiode de l'origine des énergies potentielles qui est donnée.
   Le résultat est le suivant :

   \begin{equation*} E_P = - m\,r\,\cos\,\theta \left( g - \dfrac{\Omega^2\,r\,\cos\,\theta}{2}\right) \end{equation*}

5. Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement de la perle M.