Exercice 1 : vitesse des électrons dans un fil de cuivre
On étudie la conduction dans un fil de cuivre. Soit :
\(S\), la section du fil : \(S = 1{,}0\,\mathrm{mm^2}\) ;
\(I\), l'intensité du courant qui parcourt celui-ci : \(I = 1{,}0\,\mathrm{A}\) ;
\(\gamma\), la conductivité du cuivre ;
\(d\), sa densité : \(d = 8{,}95\) ;
\(M\), sa masse molaire : \(M = 63{,}5\,\mathrm{g.mol^{-1}}\) ;
\(\rho_0\), la masse volumique de l'eau : \(\rho_0 = 1{,}0\,\mathrm{kg.L^{-1}}\) ;
\(N_A\), le nombre d'Avogadro : \(N_A = 6{,}02\times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\) ;
Chaque atome de cuivre libère un électron de conduction de charge \(q = -e\) (\(e=1{,}6\times 10^{-19} C\)).
Quelle est l'expression et la valeur de la densité volumique des porteurs de charges mobiles \(n_p\) ?
Pour avoir cette densité volumique, il faut chercher le nombre d'atomes de cuivre dans une unité de volume puisque chaque atome libère un électron. On sait que :
Il faut bien regarder les données pour reconnaître les formules à utiliser.
On trouvera :
\begin{equation}n_p =8{,}48\times 10^{28} \text{ électrons par }\mathrm{m^3}\end{equation}
Quelle est l'expression et la valeur de la densité volumique de courant \(j\) ?
\begin{equation}\overrightarrow{v} = \dfrac{\overrightarrow{j}}{n\,q}\end{equation}
\begin{equation}\text{ et en norme } v=\dfrac{j}{n\,e}=\dfrac{1{,}0\times 10^{6}}{8{,}48\times 10^{28}\times 1{,}6\times 10^{-19}} = 7{,}6\times 10^{-5}\,\mathrm{m.s^{-1}}\end{equation}
Exercice 2 : calcul de résistance électrique
Soit un conducteur constitué d'une couche cylindrique conductrice comprise entre les rayons \(R_1\) et \(R_2\) (\(R_2>R_1\)). Sa longueur est \(\ell\) et sa conductivité \(\gamma\). Établir l'expression de sa résistance.
Avec \(\overrightarrow{E}\) le champ électrique extérieur qui met en mouvement les charges dans le conducteur, \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\) une longueur infinitésimal de conducteur, \(\mathrm{d}\overrightarrow{S}\) une portion infinitésimale de section du conducteur.
\(\overrightarrow{E}\) et \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\) ont même sens et même direction, ainsi que \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{n}\). De plus \(\overrightarrow{E}\) est uniforme sur la longueur du conducteur :
Soit une plaque semi-conductrice de type N (les porteurs de charges sont des électrons de charge \(-e\)) de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), parcourue dans le sens de sa longueur par un courant d'intensité \(I\) répartie sur toute la section de la plaque : on peut donc définir un vecteur densité de courant, \(\overrightarrow{j}=j\,\overrightarrow{u}_x\) avec \(j>0\). Le nombre de porteurs de charges par unité de volume est \(n\). On place cette plaque dans un champ magnétique uniforme \(\overrightarrow{B}=B\,\overrightarrow{u}_z\) avec \(B>0\). Ce champ est grand devant le champ créé par le courant \(I\).
Effet Hall dans une plaque conductrice
En régime permanent, le vecteur densité a toujours pour expression \(\overrightarrow{j}=j\,\overrightarrow{u}_x\).
Établir l'expression du vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) des électrons dans la plaque en fonction de \(\overrightarrow{j}\), \(n\) et \(e\).
Il faut utiliser la relation \(\overrightarrow{j}=n\,q\,\overrightarrow{v}\) utilisée pour définir le vecteur densité de courant électrique.
Expliquer l'apparition d'un champ électrique de Hall entre les deux faces de la plaque. Indiquer son sens et sa direction.
Pendant le régime transitoire, les électrons qui vont circuler dans la plaque vont subir la partie magnétique de force de Lorentz \(\overrightarrow{f_m}=q\,\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}\), cette force étant dirigée suivant \(-\overrightarrow{u}_y\) (car \(q=-e\)), des électrons vont s'accumuler sur la face inférieure de la plaque, cette accumulation repoussera des charges positives de la plaque vers la face supérieure. Cette répartition de charges fixes dans la plaque conductrice créé un champ électrique dirigé des charges positives vers les charges négatives c'est à dire selon \(-\overrightarrow{u}_y\).
Le régime permanent étant établi, trouver l'expression vectorielle du champ électrique de Hall \(\overrightarrow{E}_H\)
en réalisant le bilan des forces dans la direction \(\overrightarrow{u}_y\) sur un électron.
En régime permanent, les électrons sont soumis à deux forces selon la direction \(\overrightarrow{u}_y\) : la partie magnétique de la force de Lorentz et à la force de Coulomb due au champ de Hall. En régime permanent, les électrons continuent leur progressions selon \(-\overrightarrow{u}_x\) ce qui signifie que les deux forces décrites précédemment se compensent.
En écrivant la relation mathématique traduisant ceci, on obtient l'expression voulue.
Donner l’expression de l’intensité de ce champ en fonction des données de l’énoncé ($I,n,e,B,h,b$).
On utilise la relation trouvée dans la première question ainsi que la relation qui dit que $I$ est égal au flux de \(\overrightarrow{j}\) à travers la section de la plaque
Utiliser le fait que la différence de potentiel entre les deux faces est égale à la circulation du champ \(\overrightarrow{E}_H\) entre celles-ci.
La constante $C_H$ s'écrit : \(C_H=\dfrac{1}{ne}\).
Sachant que pour le semi-conducteur "antimoniure d'indium", $C_H=385 \times 10^{-6}\,\mathrm{m^3.C^{-1}}$, $I = 0{,}1A$, $h=0{,}3\mathrm{mm}$ et $B=1\,\mathrm{T}$ ; calculer $U_H$ et la densité volumique d'électrons $n$.
Il faut trouver :
\begin{equation}n=1{,}7\times 10^{22} \text{ électrons par } \mathrm{m^{3}}\end{equation}
