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TD EM5-EM6 : champ et dipôle magnétiques

Exercice 1 : Champ magnétique créé par une spire

Soit une spire (boucle de courant circulaire) de rayon $R$ parcourue par un courant $I$.
Calculer le champ magnétique créé en tout point M distant de $z$ de l'axe de révolution de la spire en fonction de $z$.
Discuter de la direction du champ suivant si $z$ est positif ou négatif et conclure.

Invariances et symétries

En étudiant celles-ci, on trouve que : \(\overrightarrow{B}=B_z(z)\,\overrightarrow{u}_z\), le sens du champ étant donné par la règle du tire-bouchon.

Champ élémentaire

On utilise ensuite le champ élémentaire donné par la loi de Biot et Savart :

\begin{equation}\mathrm{d}\overrightarrow{B} = \dfrac{\mu_0\,I}{4\pi}\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \wedge \overrightarrow{PM}}{PM^3} \text{ ou } \mathrm{d}B = \dfrac{\mu_0\,I}{4\pi}\dfrac{\mathrm{d}\ell}{r^2}\end{equation}

Il faut alors exprimer le produit vectoriel qui apparaît dans la loi de Biot et Savart en utilisant les coordonnées cylindriques.

On peut ensuite utiliser le théorème de Pythagore pour faire apparaitre la coordonnées $z$.

On trouve :
\begin{equation}\mathrm{d}B_z=\dfrac{\mu_0\,I\,\mathrm{d}\ell\,R}{4\pi\,(R^2+z^2)^{3/2}}\end{equation}

Champ total

Pour obtenir le champ total, on intègre sur toute la circonférence de la spire, soit comme \(\mathrm{d}\ell = R\,\mathrm{d}\theta\), on intègre sur \(\theta\) de \(0\) à \(2\pi\) :

Voici l'expression du champ créé par une spire de rayon $R$ parcouru par un courant $I$ :

\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{B}=\dfrac{\mu_0\,I\,R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\overrightarrow{u}_z}\end{equation}

On remarque que le champ est dirigé de la même manière que $z$ soit positif ou négatif : en effet, le plan contenant la spire étant plan de symétrie de la distribution, le champ est antisymétrique en deux points M et M' symétriques par rapport à ce plan.

Exercice 2 : champ magnétique et solénoïde

Un solénoïde est un enroulement de fil très serré autour d'un isolant. Lorsque le fil est parcouru par un courant d'intensité $I$ constante, on peut considérer que le solénoïde est un ensemble de spires juxtaposées parcourues par un courant de même sens.
Chaque spire créant un champ magnétique de même sens, le solénoïde créé un champ électrique total assez important.
Dans cet exercice, on considère un solénoïde d'axe O$z$ de longueur $L$ et de rayon $R$. Il comporte $N$ spires :

1. On cherche à relier un nombre infinitésimal de spires \(\mathrm{d}N\) à un élément de longueur infinitésimal de solénoïde \(\mathrm{d}L=\mathrm{d}z\). Que vaut \(\mathrm{d}N\) en fonction de \(\mathrm{d}z\) ?
   On rappelle que l'on connaît la longueur du solénoïde \(L\) et son nombre de spires \(N\).

2. Exprimer le résultat de l'exercice 1 (champ créé par une spire) en fonction de l'angle \(\alpha\), angle sous lequel le point M voit la spire.

3. Une portion de solénoïde $\mathrm{d}z$ est positionnée en un point P de coordonnées ($0,0,z$). On repère cette portion par un angle \(\mathrm{d}\alpha\) depuis le point M.
   Exprimer \(\mathrm{d}z\) en fonction de \(d\alpha\).

4. Calculer alors le champ élémentaire \(d\overrightarrow{B}\) au point M créé par \(\mathrm{d}N\) spires centré sur une longueur \(\mathrm{d}z\) de solénoïde, en fonction de \(\mathrm{d}\alpha\).

5. En déduire la valeur du champ créé par le solénoïde en M en fonction des angles \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\).

6. En déduire l'expression du champ magnétique créé par le solénoïde long à l'intérieur de celui-ci (si on considère un solénoïde long, les angles \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) tendent vers des valeurs particulières).

Exercice 3 : spire et champ magnétique terrestre

On suspend une spire de rayon \mathrm{R}, de masse m et parcourue par un courant \mathrm{I} à un fil sans torsion.
La spire est plongée dans le champ magnétique terrestre supposé horizontal et uniforme, noté \(\overrightarrow{B_0}\).
On note \(\theta\) l'angle que fait la normale de la surface orientée constituée par la spire et le champ magnétique terrestre.

1. Exprimer le moment magnétique de la spire.

2. Exprimer, à l'aide du schéma ci-dessous, le moment subit par la spire.

   

3. En appliquant le théorème du moment cinétique à la spire qui s'écrit \(J\dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}= \mathcal{M}(\overrightarrow{F})\) avec J le moment d'inertie de la spire, donner l'équation du mouvement de la spire dans l'approximation des petits angles.
   On sait qu'initialement, on écarte la spire de sa position d'équilibre d'un angle \(\theta = \theta_0\) et on la lâche sans vitesse initiale.

4. Comment peut-on alors calculer la valeur du champ magnétique terrestre ?