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TD EM4 : Conducteurs en équilibre et condensateurs

Exercice 1 : capacité du condensateur plan

Soit deux armatures métalliques parallèles de surfaces $S$ égales, supposées très grandes devant l'épaisseur \(e\) entre les armatures.
Ces armatures sont placées dans le vide.
Établir, en fonction de $S$ et $e$, l'expression de la capacité du condensateur plan ainsi formé.

Exercice 2 : un condensateur plan d'épaisseur variable

Soit un condensateur plan constitué de deux armatures placées perpendiculairement à l'axe O$x$. L'armature positive porte la charge $+Q$ et est située à l'abscisse $x = 0$ ; l'armature négative est située à l'abscisse $x = e$. On note $U$ la tension positive établie entre ces armatures. On connaît, depuis l'exercice 1, l'expression de la capacité du condensateur plan.

1. Le condensateur étant isolé (la charge des armatures reste constante), on déplace l'armature négative de l'abscisse \(e\) à l'abscisse \(e+h\). Établir l'expression de la nouvelle tension $U'$ qui s'établit entre les armatures.
2. Quel travail fournit l'opérateur lors de ce déplacement ?
3. Quelle est la variation d'énergie potentielle du condensateur quand il passe de sa position initiale à sa position finale ? Conclure.

1. Il faut partir de l'expression de la capacité du condensateur plan épais de \(e+h\)

   Il faut ensuite utiliser la relation entre la capacité, la charge et la tension en sachant que nous travaillons à charge constante (condensateur isolé).

2. Le déplacement concerne l'armature négative qui porte la charge $-Q$, elle est plongée dans le champ créé par l'armature positive.

   Il faut calculer le travail de la force de Coulomb subie par celle-ci.

   Le travail de l'opérateur est l'opposé du travail de la force de Coulomb.

3. Il faut calculer l'énergie potentielle électrostatique du condensateur dans son état initial (épaisseur = \(e\)) et son énergie dans son état final (épaisseur = \(e+h\)) à l'aide des formules bien connues $\left(E_P = \frac{1}{2}Q^2\,C\right)$

   On trouve :

   \begin{equation} \Delta E_P = \dfrac{Q^2 h}{2\epsilon_0 S} = W_{OP}\end{equation}

   Ce qui signifie que l'opérateur lutte contre la force de Coulomb pour augmenter l'énergie potentielle du condensateur.

Exercice 3 : le condensateur cylindrique

Soit un condensateur cylindrique composé d'une armature cylindrique positive de rayon \(R_1\) de hauteur \(h\) portant la charge \(+Q\) entouré d'une armature cylindrique négative de rayon \(R_2\) (>\(R_1\)) de hauteur \(h\) portant la charge \(-Q\).
Les armatures portent une densité surfacique de charge uniforme (\(\sigma\)).
On suppose que l'espace inter-armatures est faible et qu'à ce titre, les surfaces des armatures sont égales.
On donne les expressions du champ électrique créé par un cylindre uniformément chargé en surface :

dans un système de coordonnées cylindriques.

1. Trouver l'expression du champ électrique total qui règne dans l'espace entre-armatures.
2. Calculer la circulation du champ \(\overrightarrow{E}\) le long d'un chemin "intéressant" entre \(R_1\) et \(R_2\).
3. Quelle relation existe entre la circulation de \(\overrightarrow{E}\) et le potentiel ?
4. Connaissant la relation entre la charge, la tension et la capacité, en déduire la capacité de ce condensateur en fonction de \(h\), \(R_1\) et \(R_2\).