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TD EM3 : Dipôle électrostatique

Exercice 1 : moment dipolaire de la molécule d’eau

De par l’électronégativité des atomes constituants la molécule d’eau, on peut modéliser celle-ci par un atome d’oxygène portant la charge \(-2\delta\) relié à deux atomes d’hydrogène portant chacun la charge \(+\delta\). \(\delta\) vaut 33% de la charge élémentaire ; l’angle entre les deux liaisons O-H est noté \(\alpha\) ; la distance entre un atome d’oxygène et un atome d’hydrogène est notée $d$.
Faire un schéma.
Déterminer l’expression (vectorielle) du moment dipolaire de la molécule d’eau et calculer sa valeur, en \(\mathrm{C.m}\) et en D.

Données

Charge élémentaire : \(e=1.60\times10^{-19}\) C
Distance O-H : \( d = 0.952 \overset{\circ}{\mathrm{A}} \quad ; \quad 1\overset{\circ}{\mathrm{A}}=10^{-10} \mathrm{m}\)
Angle \(\alpha\) : \( \alpha =104º 45' \quad ; \quad 1' = 1/60^{\mathrm{ième}} \text{ de degré}\)

Un bon indice pour répondre à cette question est le dessin de la molécule d'eau :

On trouve $p = 6.14.10^{-30}\,\mathrm{C.m}$

Donc en Debye :

\begin{equation}p = \dfrac{6{,}14.10^{-30}}{\frac{1}{3}.10^{-29}} = 1.86\,\mathrm{D}\end{equation}

Exercice 2 : une charge et un cerceau

Soit un cerceau de centre O, de rayon \(R\), portant la densité linéique de charge \(\lambda\). On place une charge \(-q\) en un point A à une distance \(d\) du centre du cerceau. On définit un axe O$z$ d’origine O, centre du cerceau, et dirigé dans le sens de \(\overrightarrow{OA}\). Le point M au niveau duquel nous allons calculer le potentiel est situé sur cet axe.
Enfin, on sait que la distance \(d\) est du même ordre de grandeur que le rayon \(R\) du cerceau et que l’origine des potentiels est pris à l’infini.

1. Faire un schéma de la situation.
2. Quelle doit être la densité linéique de charge \(\lambda\) pour que la charge totale portée par le cerceau soit égale à $+q$ ?
3. Calculer le potentiel créé par l’ensemble du cerceau et de la charge, en tout point M de l’axe O$z$.
4. Montrer que lorsque le point M est suffisamment éloigné de l’ensemble chargé (des quantités tendent vers 0, des développements limités peuvent être utilisés), on peut assimiler l’ensemble du cerceau et de la charge à un dipôle électrostatique de moment dipolaire \(\overrightarrow{p}\).
   Exprimer ce moment en fonction de $R$, $q$ et $d$.
   Données
   • Champ électrique créé par un cerceau centré sur un axe O$z$ : \begin{equation}\overrightarrow{E}(M) = \dfrac{\lambda R z}{2\epsilon_0(\sqrt{R^2+z^2})^3} \overrightarrow{u}_z\end{equation}
   • Expression du gradient en coordonnées cylindriques :
     \begin{equation}\overrightarrow{\nabla}f = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f = \dfrac{\partial{f}}{\partial{r}}\overrightarrow{u}_r + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial{f}}{\partial{\theta}}\overrightarrow{u}_{\theta} + \dfrac{\partial{f}}{\partial{z}}\overrightarrow{u}_z \nonumber \end{equation}
   • Potentiel créé par un dipôle électrostatique centré en O, en un point M : \begin{equation}V(M) = \dfrac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{r}}{4\pi\epsilon_0\,r^3} \nonumber\end{equation}

1. Voici un schéma de la situation :

2. On trouve : \(\lambda = \dfrac{q}{2\pi R}\)

3. D’après le principe de superposition, le potentiel total créé en un point M est la somme du potentiel créé par le cerceau centré sur O et du potentiel créé par la charge -q située en A.
   

• On connaît l’expression du potentiel créé par la charge en A : \begin{equation}V_{-q}(M)=\dfrac{-q}{4\pi\epsilon_0\,AM}= \dfrac{-q}{4\pi\epsilon_0\,|z-d|}\end{equation} En effet, aucune constante n’intervient car le potentiel est nul à l’infini. La distance entre le point M et le point A dépend de la position de \(z\) :
  • Si \(z>0\) et \(z>d\), on a \(AM = z-d\) ;
  • Si \(z>0\) et \(z<d\), on a \(AM = d-z\) ;
  • Si \(z<0\), on a \(AM = -z+d\).
  L’expression de AM valable quelque soit \(z\) est donc : \(AM=|z-d|\).
• Le champ électrique créé par le cerceau étant donné (nous l’avons calculé dans le TD-EM11), on remonte au potentiel grâce à la relation maintenant classique \(\overrightarrow{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V\) (surtout que les données nous propose l’expression du gradient en coordonnées cylindriques).
  On trouve : \begin{equation}V_{cerceau}(M) = \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0\,\sqrt{R^2+z^2}}\end{equation} Il n’y a toujours pas de constante pour les mêmes raisons que précédemment.
  
• Le potentiel total créé en M est donc égal à : \begin{equation} V(M) = \dfrac{-q}{4\pi\epsilon_0\,|z-d|} + \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0\,\sqrt{R^2+z^2}} \end{equation}

4. Comme il est écrit dans l’énoncé de la question, si on est suffisamment éloigné de l’ensemble chargé, le rayon du cerceau et la distance entre la charge en A et l’origine du repère sont négligeables devant z = OM.
   Ainsi les quantités \(\frac{R}{z}\) et \(\frac{d}{z}\) tendent vers 0.
   Pour pouvoir effectuer des développements limités, il faut faire apparaître ces quantités. Au final, deux cas peuvent donc se présenter : \begin{equation}\text{Si z > 0, } V(M)=\dfrac{-qd}{4\pi\epsilon_0\,z^2} \hspace{1cm} \text{Si z < 0, } V(M)=\dfrac{qd}{4\pi\epsilon_0\,z^2} \end{equation} On reconnaît dans ces expressions $qd$ qui ressemble à la valeur d’un moment dipolaire, on a également z = OM. On pourrait donc écrire : \begin{equation}V(M)=\dfrac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{OM}}{4\pi\epsilon_0\,OM^3} = \dfrac{p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0\,OM^2}\end{equation} Cette expression conviendrait pour les deux équations à condition que \(\overrightarrow{p}\) soit le moment dipolaire placé en O et ayant pour expression \(\overrightarrow{p}=q\,\overrightarrow{AO}\).

On peut alors vérifier que :

• Si z > 0 alors \(\theta=\pi\) et \(\cos \theta = -1\).
• Si z < 0 alors \(\theta=0\) et \(\cos \theta = 1\).

Exercice 3 : un dipôle, un champ et des équipotentielles

Soit un dipôle électrostatique de moment dipolaire \(\overrightarrow{p} = q \overrightarrow{NP} = q\,NP\,\overrightarrow{u}_x\) dirigé suivant l’axe Ox et centré sur le point O, origine du repère.
Ce dipôle est plongé dans un champ électrique \(\overrightarrow{E}=E_0\overrightarrow{u}_x\) où \(E_0\) est une constante.

1. Rappeler l’expression du potentiel créé en un point M par le dipôle électrostatique.
2. Trouver l’expression du potentiel, en coordonnées cartésiennes, créé en un point M par le champ \(\overrightarrow{E}\). On sait que ce potentiel est nul au point O.
3. En déduire l’expression du potentiel total créé en un point M par le dipôle et le champ extérieur. On l’exprimera en fonction des coordonnées polaires.
4. Identifier les équipotentielles correspondant à $V = 0$.
5. Sachant que le problème est invariant par rotation autour de l’axe O$x$, identifier les surfaces équipotentielles dans l’espace à 3 dimensions.

Exercice 4 : force de Keesom

La force de Keesom est une force de Van der Waals entre molécules polaires. Ces molécules sont assimilables à deux dipôles électrostatiques identiques (permanents) \(\overrightarrow{p_1}\) et \(\overrightarrow{p_2}\), dirigés tous deux suivant l’axe Ox, qui interagissent entre eux.
La force de Keesom est attractive : par exemple, le dipôle \(\overrightarrow{p_1}\) créé un champ électrique au niveau du dipôle \(\overrightarrow{p_2}\) qui tend à s’aligner sur ce champ. Il y a ensuite déplacement de \(\overrightarrow{p_2}\) vers les champs forts, c’est à dire vers \(\overrightarrow{p_1}\).
On peut faire le même raisonnement dans l’autre sens, mais pour raisonner ici, on considère \(\overrightarrow{p_1}\) fixe.

1. Les dipôles sont colinéaires et orientés dans le même sens. Compléter le schéma ci-dessous en indiquant :
   • Le champ \(\overrightarrow{E_1}\) créé par le dipôle 1 au niveau du dipôle 2, sachant que l’on ne considère pas celui-ci uniforme sur la taille du dipôle.
   • Les forces de Coulomb qui s’exercent sur les charges \(-q\) et \(+q\) du dipôle 2 du fait de l’existence du champ \(\overrightarrow{E_1}\).

   Conclure quant au rapprochement du dipôle 2 vers le dipôle 1.

2. Trouver l’expression de la force qu’exerce le dipôle 1 sur le dipôle 2 (calculer la force qui s’exerce sur chaque charge du dipôle puis la résultante). On considèrera que la distance \(r\) entre les deux dipôles (entre leur centre) est grande devant la taille \(d\) des dipôles.
   Données
   On rappelle l’expression du champ électrostatique créé par un dipôle : \(\overrightarrow{E} = \dfrac{2p \cos\theta}{4\pi\epsilon_0\,r^3}\overrightarrow{u}_r + \dfrac{p \sin \theta}{4\pi\epsilon_0\,r^3} \overrightarrow{u}_{\theta}\).

1. Voici le schéma proposé pour expliquer le phénomène :

2. On calcule la force exercée par le champ \(\overrightarrow{E_1}\) au niveau de chaque charge du dipôle 2 : C'est une résultante de forces exercées au niveau de chaque charge du dipôle. On utilisera deux développements limités : le DL utilisé est celui que l’on connaît bien : \((1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x\) au premier ordre quand \(x\rightarrow0\).
   
   On obtient alors : \begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F} = \dfrac{-6q^2d^2}{4\pi\epsilon_0\,r^4}\overrightarrow{u}}\end{equation}

Exercice 5 : équilibre d’un dipôle au centre d’un condensateur

Soit un condensateur plan dont les armatures sont perpendiculaires à un axe Ox horizontal. L’armature négative porte la densité de charge -\(\sigma\) et coupe l’axe Ox à l’abscisse x = -a, l’armature positive porte la charge \(+\sigma\) et coupe l’axe Ox à l’abscisse x = a.
Le champ électrique au sein d’un condensateur de ce type a pour expression :

On place un dipôle électrostatique de moment dipolaire \(\overrightarrow{p}\) au centre de ce condensateur tel que \(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u}_x = p \cos \alpha\).

1. Donner l’expression de l’énergie potentielle de ce dipôle.
2. Trouvez ses positions d’équilibre.
3. Pourquoi ne se déplace-t-il pas dans le condensateur ?

1. La première question est une question de cours : pour un dipôle de moment dipolaire \(\overrightarrow{p}\), plongé dans un champ extérieur \(\overrightarrow{E}\), on a : \begin{equation}E_P = - \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} = - p\times E \times \cos (\pi- \alpha) = p \times E \times \cos \alpha\end{equation}

2. D’après le schéma ci-contre, on voit que :
   • Si \(\alpha = 0\), la position d’équilibre est instable.
   • Si \(\alpha = \pi\), la position d’équilibre est stable.

On peut également voir ceci plus mathématiquement en utilisant les dérivées première et seconde de l'énergie potentielle par rapport à $\alpha$.

3. D’après l’expression qui est donnée, on sait que le champ \(\overrightarrow{E}\) qui règne à l’intérieur d’un condensateur est uniforme. Les forces subit par les charges opposées qui forment le dipôle sont identiques, la résultant des forces est nulle : pas de déplacement.