Licence 1 > Mécanique 2 > Résumé de cours sur le théorème du moment cinétique
M21 : théorème du moment cinétique
L'essentiel
Moment cinétique d’un point M par rapport à un point O
\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{L_O}(M) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{p} = \overrightarrow{OM} \wedge m\,\overrightarrow{v}}\end{equation*}
En norme : \(L_O(M) =OM \times m\,v \times \sin \alpha\) si \(\alpha\) représente l’angle que forme le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) et le vecteur \(\overrightarrow{v}\).
Sens : le sens du vecteur moment cinétique est donné par la règle de la main droite, la base \(\left(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{L_O}(M)\right)\) est directe.
Moment cinétique en O’ différent de O
\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{L_{O'}}(M) = \overrightarrow{L_O}(M) + \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{p}}\end{equation*}
Moment cinétique par rapport à un axe \(\Delta\)
\begin{equation*}\boxed{L_{\Delta} = \overrightarrow{L_O}(M) \cdot \overrightarrow{u}_{\Delta}}\end{equation*}
avec \(\overrightarrow{u}_\Delta\) le vecteur unitaire donnant le sens et la direction de l’axe et O un point de l’axe.
\(L_{\Delta}\) est donc la projection du moment cinétique par rapport à un point de l’axe sur cet axe.
Moment d’une force \(\overrightarrow{F}\) par rapport à un point
\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F}}\end{equation*}
En norme : \(\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = \left|\left|\overrightarrow{OM}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|\times \sin \theta\) si \(\theta\) représente l’angle que forme les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{F}\).
Sens : Le sens du vecteur moment est donné par la règle de la main droite.
Notion de bras de levier
5 Le bras de levier est la distance \(d=OH\), où H est le projeté orthogonal de O sur la droite d’action de la force \(\overrightarrow{F}\).
La norme du vecteur moment peu ainsi s’écrire :
\begin{equation*}\boxed{\mathcal{M}_O(\overrightarrow{F}) = d \times \left|\left|\overrightarrow{F}\right|\right|}\end{equation*}
La norme du moment ne dépend que du bras de levier.
Moment de force en O’ différent de O
\begin{equation*}\boxed{\overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) + \overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{F}}\end{equation*}
Moment de force par rapport à un axe
\begin{equation*}\boxed{\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F}) \cdot \overrightarrow{u}_{\Delta}}\end{equation*}
Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe
\begin{equation*}\boxed{\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)}{\mathrm{d}t} = \sum_i \overrightarrow{\mathcal{M}_O}(\overrightarrow{F_i})}\end{equation*}
Théorème du moment cinétique par rapport à un axe
\begin{equation*}\boxed{\dfrac{\mathrm{d}L_{\Delta}}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F_i})}\end{equation*}
