Licence 1 > Mécanique 2 > Résumé de cours sur les changements de référentiel et les référentiels non galiléen
M23 : changement de référentiel,
référentiels non galiléens
L'essentiel
Formule de Bour
Elle permet de relier la variation dans le temps d’un vecteur dans un référentiel \(\mathcal{R}\) fixe avec celle de ce même vecteur dans un référentiel \(\mathcal{R'}\), en mouvement quelconque par rapport à \(\mathcal{R}\) :
\begin{equation}\boxed{\left(\dfrac{d\overrightarrow{U}}{dt}\right)_{/\mathcal{R}} = \left(\dfrac{d\overrightarrow{U}}{dt}\right)_{/\mathcal{R}'} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{U}} \nonumber\end{equation}Loi de composition des vitesses
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{v}_{\text{absolue}} = \overrightarrow{v}_{\text{entrainement}} + \overrightarrow{v}_{\text{relative}}} \nonumber\end{equation}Avec :
\begin{equation}\begin{aligned} \overrightarrow{v}_{\text{a}} &=\overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}}\nonumber \\ \overrightarrow{v}_{\text{e}}&=\overrightarrow{v}(O')_{/\mathcal{R}} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{O'M}\nonumber\\ \overrightarrow{v}_{\text{r}} &=\overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}'} \nonumber\end{aligned}\end{equation}La vitesse d’entrainement est la vitesse qu’aurait M s’il était fixe dans le référentiel en mouvement.
Loi de composition des accélérations
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{a}_{\text{a}} = \overrightarrow{a}_{\text{r}} + \overrightarrow{a}_{\text{e}} + \overrightarrow{a}_{\text{c}}} \nonumber\end{equation}Avec :
\begin{equation}\begin{aligned} \overrightarrow{a}_{\text{a}} &=\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}}\nonumber\\ \overrightarrow{a}_{\text{r}} &=\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'}\nonumber\\ \overrightarrow{a}_{\text{e}}&=\overrightarrow{a}(O')_{/\mathcal{R}} + \dfrac{d\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}}}{dt} \wedge \overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge (\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{O'M})\nonumber\\ \overrightarrow{a}_{\text{c}}&=2\,\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{v}(M)_{/\mathcal{R}'} \nonumber\end{aligned}\end{equation}Attention, \(\overrightarrow{a}_{\text{e}} \neq \dfrac{d\overrightarrow{v}_{\text{e}}}{dt}\).
Cas d’un mouvement de translation
Comme \(\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} = \overrightarrow{0}\), alors :
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{v}_{\text{entrainement}} = \overrightarrow{v}(O')_{/\mathcal{R}} \quad ; \hspace{0.5cm} \overrightarrow{a}_{\text{entrainement}} = \overrightarrow{a}(O')_{/\mathcal{R}} \quad ; \hspace{0.5cm} \overrightarrow{a}_{\text{coriolis}} = \overrightarrow{0}} \nonumber\end{equation}Cas d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe
Soit une rotation uniforme autour de l’axe O$z$ : \(\overrightarrow{\Omega}_{\mathcal{R'}/\mathcal{R}} = \dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_z\).
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{v}_{\text{e}}=r\,\dot{\theta}\,\overrightarrow{u}_{y'}} \nonumber \\\end{equation} \begin{equation}\boxed{\overrightarrow{a}_{\text{e}} =- r\,\dot{\theta}^2\, \overrightarrow{u}_{x'}=-\dot{\theta}^2\,\overrightarrow{HM} } \nonumber\end{equation}Si H est le projeté de M sur l’axe de rotation.
Référentiel galiléen ou non
Un référentiel est galiléen si la première loi de Newton y est vérifiée.
Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Relation fondamentale de la dynamique en référentiel non galiléen
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_{\mathrm{ie}}} + \overrightarrow{F_{\mathrm{ic}}} = m\,\overrightarrow{a}(M)_{/\mathcal{R}'} \nonumber }\end{equation}Avec :
\( \overrightarrow{F_{\mathrm{ie}}} = -m\,\overrightarrow{a}_e\) une force virtuelle appelée force d’inertie d’entraînement ;
\( \overrightarrow{F_{\mathrm{ic}}} = -m\,\overrightarrow{a}_c\) une force virtuelle appelée force d’inertie de Coriolis.
RFD dans le référentiel tournant d’une rotation uniforme
Il y a équilibre du point M dans ce référentiel, la relation entre la tension qui maintient le point M sur sa trajectoire est la force d’inertie d’entraînement est la suivante :
\begin{equation}\boxed{\overrightarrow{F_{\mathrm{ie}}}=-\overrightarrow{T}=m\,\dot{\theta}^2\,\overrightarrow{HM}} \nonumber\end{equation}Cette force d’inertie d’entrainement représente la force centrifuge ressentie par le point M lors de sa rotation.
Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen
\begin{equation}\boxed{\left(\dfrac{d\overrightarrow{L_{O'}}(M)_{/\mathcal{R}'}}{dt}\right)_{/\mathcal{R}'} = \overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F}) + \overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F_{\mathrm{ie}}}) + \overrightarrow{\mathcal{M}_{O'}}(\overrightarrow{F_{\mathrm{ic}}})} \nonumber\end{equation}Théorème de l’énergie cinétique en référentiel non galiléen
\begin{equation}\boxed{E_C(B)_{/\mathcal{R}'}-E_C(A)_{/\mathcal{R}'}=W_{AB}(\overrightarrow{F})_{/\mathcal{R}'}+W_{AB}(\overrightarrow{F_{\mathrm{ie}}})_{/\mathcal{R}'}} \nonumber\end{equation}Car la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas.
